Belajar Ordinary Differential Equation (ODE) menggunakan MATLAB

Didalam matematika, ordinary differential equation (atau disingkat ODE) adalah hubungan yang hanya berisi fungsi-fungsi dengan hanya 1 variabel independen, dengan satu atau lebih turunan variabel tersebut.  Contoh persamaan yang paling umum adalah Hukum Newton II, yang menghasilkan fungsi differensial seperti dibawah ini:

ode

Umumnya, Gaya F bergantung kepada posisi partikel x(t) pada waktu t, sehingga fungsi x(t) yang belum diketahui muncul di dua sisi persamaan sebagaimana persamaan diatas.

Ordinary differential equations (ODE) berbeda dengan partial differential equations (PDE), karena PDE mengandung variabel fungsi-fungsi turunan parsial.

Telah banyak studi yang dilakukan untuk menyelesaikan persamaan persamaan ODE ini. Bila persamaannya linier, maka dapat digunakan cara analitis dengan mudah. Namun, kebanyakan persoalan yang melibatkan ODE lebih sering berbentuk non linear, sehingga diperlukan pendekatan numerik, salah satunya dengan menggunakan program Matlab.

Banyak buku yang membahas tentang penyelesaian ODE dengan Matlab, salah satu yang cukup bagus adalah buku Ordinary Differential Equations using MATLAB (Third Edition) karangan  John C. Polking and David Arnold. Buku ini terdiri dari 13 Bab dan versi gratisnya ditampilkan disini.

  1. Chapter 1. Introduction to MATLAB. Bab ini berisi pengenalan MATLAB, meliputi sintaks, fungsi  serta beberapa perintah yang sering digunakan dalam operasi ODE.
  2. Chapter 2. Plotting in MATLAB. Sesuai dengan judulnya, bab ini memperkenalkan cara menampilkan grafik di MATLAB, serta pengenalan matrik di MATLAB
  3. Chapter 3. Introduction to DFIELD6. Menjelaskan fungsi DFIELD6, sebuah fungsi bantu untuk menyelesaikan ODE. Download fungsi DFIELD6 disini.
  4. Chapter 4. The Use of Function M-files. Membahas semua hal yang berhubungan dengan M-Files. Cara membuat fungsi sendiri, penjelasan masing-masing secara langkah demi langkah
  5. Chapter 5. Numerical Methods for ODEs. Penjelasan tentang bagaimana filosofi  penyelesaian ODE menggunakan metode numerik
  6. Chapter 6. Advanced Use of DFIELD6. Penjelasan tentang penggunaan fungsi DFIELD secara lebih detail
  7. Chapter 7. Introduction to PPLANE6. PPlane6 dapat didownload disini.
  8. Chapter 8. Solving ODEs in MATLAB.
  9. Chapter 9. Introduction to ODESOLVE. Download ODESOLVE m-files disini 
  10. Chapter 10. The Symbolic Toolbox.
  11. Chapter 11. Linear Algebra Using MATLAB.
  12. Chapter 12. Homogeneous Linear Systems of ODEs.
  13. Chapter 13. Advanced Use of PPLANE6.

Untuk tambahan, Fungsi DFIELD6 dan PPLANE6 dapat didownload disini

Istilah Pencarian:

Klik untuk melihat isi list

28 thoughts on “Belajar Ordinary Differential Equation (ODE) menggunakan MATLAB

  1. Tolong Pak.
    Ada ngk ebook or pdf tentang matlab Komputasi hubungannya dengan matematika teknik

    AKu pengen belajar matlab tapi kok susah :(

    1. untuk mempelajari Matlab, buku yang perlu anda punyai adalah Manual matlab, karena buku itu merupakan referensi perintah-perintah matlab. Selanjutnya anda harus belajar mengaplikasikan perintah-perintah matlab yang paling dasar, lalu belajar membuat fungsi-fungsi matlab sendiri. syukur-syukur kalau bisa membuat m file. Coba cek halaman ini
      http://adf.ly/8eJ

  2. terima kasih pak udah nyediain pdf yag bermutu!!!!
    klo bisa yang lebih diterjemahin ke bahasa indonesia!!.
    klo untuk dfield sama pplane yg lebih komplit g pak!!!tentang cara pengisian di tool box’y!!sperti untuk pengisian parameter’y!!!.Dan penjelasan tool2x nya.

  3. Senang sekali membaca modul anda. Nah, barangkali ada waktu luang untuk berkunjung ke http://rohedi.com/content/view/25/26/. Di sana ada Stable Modulation Technique yang dapat ngeluarin solusi eksak analitik Persamaan Diferensial Biasa orde 1 (ODE=ordinary Differential Equation). Yach barangkali solusi smart versi SMT itu bisa buat pembanding solusi numerik yang anda sedang anda lacak. Oh ya jangan lupa untuk membaca leave comment (kolom komentar), disana ada info tentang Rumus eksak terbaru untuk ngeluaran angka pi (Pi number) versi Rohedi, alasan mengapa pi irrational dll.

    Terima Kasih.
    Salam Kenal,
    Rohedi.

  4. Kawan-kawan,

    Untuk mengetahui validasi pemecahan problem matematika yang kita lakukan dengan metode numerik, tiada pilihan lain kecuali membandingkanya dengan solusi analitik yang ada.

    Namun tidak semua problem dapat dipecahkan secara eksak analitik. Hanya pada beberapa kasus sederhana saja pemecahan eksak analitik itu tersedia, seperti persamaan diferensial arctan

    dy/dt=1+y^2

    yang untuk t(0)=0 dan y(0)=0 kita tahu solusinya berbentuk fungsi tangent (tangent-function) y=tan(t).

    Metode numerik sederhana yang lumrah digunakan untuk pemecahan persamaan diferensial arctan tersebut adalah metode Runge-kutta orde 4, sebagaimana dijelaskan dalam artikel ini.

    Nah, kalau kawan-kawan tertarik menggunakan deret tak hingga fungsi tangen sebagai pembanding bagi penyelesaian persamaan diferensial arctan yang anda lakukan dengan metode numerik tersebut, silahkan click alamat berikut:

    http://www.mathworks.com/matlabcentral/link_exchange/MATLAB/Mathematics/Numerical_Computation/index.html

    Lalu pilih dan click posting artikel yang berjudul How to upgrade the computing velocity yang diposting oleh Sdr.Wahyu Pratama. Pada Posting sebut Rohedi LAboratory yang Rohedi kepalai memperkenalkan teknik pembangkitan deret tak hingga fungsi tangen tanpa menggunakan Maclaurin series.

    Semoga bermanfaat.

  5. Maksudnya p.Rohedi bisa menghilangkan deret Maclaurin?wah hebat itu. Mohon penjelasannya p.Hari. Terima kasih.

    1. papernya ada disini
      maksudnya, persamaan differensial yang biasanya didekati dengan menggunakan deret maclaurin, sekarang didekati dengan persamaan arctangen, yang terbukti mampu menghemat waktu komputasi secara signifikan.

  6. Alhamdulillah komentar saya bisa masuk, soalnya tadi masih menunggu persetujuan. Saya senang bisa kejebak ke wordpress p.Hari, serasa lengkap. Penjelasannya metode numeriknya ok, ee malah ketambahan metode baru produk Rohedi LAboratory.Tadi saya langsung berselancar berburu jejak link yang dibuat beliau sekeluarga. Saya kok ketinggalan informasi kalau ada metode analitik cerdas produk dalam negri. Ini dulu p. Hari, insyaallah lain hari saya akan datang untuk berdiskusi lagi. Sukses p.Hari.

    1. itulah pak, ITS. Masalah sebenarnya kurang PD saja. Ada banyak produk-produk ITS yang nasibnya merana, padahal kualitasnya gak kalah dengan yang lain. Tapi saya sudah email P Rohedi untuk lebih giat promosi, terutama ke luar negeri. Soalnya saya lihat publikasinya hanya seputar Indonesia saja.

      Maklum, kita sama-sama produk perguruan tinggi yang sama, cuman beliau jauh lebih senior dari saya

  7. Sayang sekali ya p.Hari kalau karya bagus-bagus versi civitas ITS itu tidak terpublis hanya karena penciptanya tidak pede. Sayang itu semua bukan ditemukan civitas almamater lain yang gencar-gencarnya butuh pengakuan internasional. Tapi yang dilakukan pak Rohedi ini aneh, kenapa beliau memilih menyebarkan karyanya yang menurut saya sangat spektakuler melalui internet. Apa adak maksud tertentu ya p.Hari? Untuk sementara saya menyangka tidak pede dengan bahasa inggrisnya. Buktinya komentar beliau yang di scientist.com dicuekin, padahal reply terhadap komen-komen sebelumnya berseliweran. Saya tahu dari google setelah ketikkan kata kunci “scientist,tangent function, rohedi”. Apa pengomentator blognya ilmuwan top itu tidak mengerti maksud tulisan pak Rohedi? Sayang sekali kan p.Hari. Matur Nuwun atas perhatiannya ya pak.

    1. Maksud Pak Anton yang ini ya….

      tan(t)=sin(2t)/[1+cos(2t)]

      Wah saya sendiri no comment. Tapi yang jelas kalau yang ada di handbook matematika ya yang ini

      tan(t/2)=sin(t)/[1+cos(t)]

      Kalau mereka hanya diminta membuktikan kesamaan fungsi tangen itu kan cukup mengganti t dengan 2t. Tapi Rohedi mendapatkan definisi tan(t) itu dari solusi PD arctan dy/dt=1+y^2, untuk t=0 dan y(0)=0.

      Pak Anton bisa membuktikannya?

      Oh ya….kalau berkomentar tentang Rohedi apa tidak sebaiknya langsung ke rohedi.com saja Pak Anton.

  8. Maaf bapak Rohedi, saya perhatikan pengomentator rohedi.com hanya pak Rohedi dan putri bapak yang bernama Denaya Lesa itu, jadinya saya urung taruh komentar karena jangan-jangan web itu website keluarga yang dikomentari sendiri. Saya bukan praktisi matematika pak, hanya kebetulan saja saya bantu-bantu carikan referensi tugas akhir anak saya yang kuliah di Fakultas Kedokteran Airlangga, dan ketemuan wordpressnya pak Hari Saryono, yang setelah saya baca kolom komentarnya ada komentar pak Rohedi yang memprosikan hasil riset bapak. Tentu saja anak saya sangat bergairah dengan paper- pak Rohedi itu. Baik kalau begitu saya akan coba bertandang ke website rohedi.com, terutama mau klarifikasi PD arctan itu, bukankah dari sononya solusi dy/dt=1+y^2 itu adalah y=tan(t), kok masih ada solusi bentuk lainnya. Terima kasih.

    1. Bagus kalau begitu Pak Anton. Semoga Putra/i bapak banyak mengambil manfaat dari kunjungan ke harisaryono.wordpress.com dan rohedi.com. Saya senang membaca komentar bapak.

      Ohya, paper yang memuat cara mendapatkan solusi Persamaan Diferensial (PD) arctan versi Rohedi itu saya umumkan di blogmath152 yang bermarkas di Harvard University, tepatnya di link ini:

      http://math152.wordpress.com/2008/11/09/dunhams-talk-on-euler/

      Pada paper itu selain dibahas pembuktian tan(t)=sin(t)/cos(t), juga dibahas cara mendapatkan Bilangan Euler (Euler-Number) tanpa menggunakan Argand Diagram.

      Nah, kalau Pak Anton dkk ada waktu click link yang ini:

      http://metrostateatheists.wordpress.com/2009/02/04/lightgod/#comment-639

      Di blog kelompok atheist itu Denaya Lesa memposting beberapa penerapan Stable Modulation Technique (SMT) dalam memecahkan ODE, serta diskusi intens Rohedi dengan salah satu visitor di sana tentang rumus eksak untuk mengcreate angka Pi (Pi-Number) yang saya launching beberapa bulan lalu.

      Okay, buat Pak Hari saya haturkan banyak terima kasih atas pemuatan posting komentar saya.

      Salam,
      Rohedi.

  9. Nah yang berikut ini pertanyaan terakhir buat pak Rohedi. Kalau mencermati posting sosialisasi pemakaian teknik pemecahan problem matematika dan bermacam Rohedi’s Smart Formula yang intens dilakukan di luar negeri, bolehkan saya simpulkan bahwa semangat nasionalis pak Rohedi rendah sekali karena lebih memilih mencerdaskan anak bangsa lain ketimbang anak bangsa sendiri. Semoga pak Rohedi masih berkenan menjawab pertanyaan bodoh ini. Terima Kasih.

  10. Saya mahasiswa FTSP UNDIP yang saat ini sedang membuat final project yang berkait dengan sistem getaran teredam. Karena keterbatasan matematika saya maka mohon bantuan informasi trik atau short cut way untuk memecahkan persamaan diferensial dari hukum kedua Newton untuk kasus sistem getaran teredam jika gaya yang bekerja mencakup pula gaya redam yang sebanding dengan kecepatan osilator, disamping tentunya gaya pemulih yang sebanding dengan simpangan osilator tersebut. Lengkapnya PD orde dua tersebut berbentuk m(d^2)x/dt^2=-bdx/dt-cx.Terima kasih atas penjelasannya.

    1. Saya setuju dengan pertanyaan anda sdr.Rokib, karena disamping sesuai topik pemecahan problem hukum newton, model matematika yang saudara angkat ditemukan dalam banyak cabang aplikasi. Mohon maaf ketimbang bentuk PDB orde 1 yang digemborkan pengkomen sebelumnya, selain bentuknya yang sederhana juga saya kira takbanyak aplikasinya.

    2. Mungkin ada yang bisa bantu?.

      Bidang saya bukan matematika murni, jadi tidak terlalu intens dengan rumus-rumus matematika yang rumit, apalagi sudah begitu lama tidak berkecimpung didalam dunia perkuliahan, sehingga pemecahan matematika yang sederhana pun menjadi sulit.

      Sebenarnya banyak sekali sumber-sumber di internet yang ada untuk membantu permasalahan anda. Namun, mungkin karena anda belum menemukan yang pas.

      coba dicari lagi dengan kata kunci :
      damped oscillatory system
      2nd order ODE

      untuk buku, coba dituliskan tambahan “torrent” di belakangnya. contoh, anda mencari buku buku tentang ODE, tulis
      ODE Matlab Solution “torrent”

      dan semacamnya.
      Terus berjuang Mas.

    3. Oh ya Pak Hari, saya tambahkan link pembelajaran Matlab buat @Rokib dan juga semua visitors harisaryono.wordpress.com, yang ini:

      http://autarkaw.wordpress.com/2008/08/04/a-matlab-program-for-comparing-runge-kutta-methods/

      Di leave comment artikel itu Putri saya Denaya Lesa postingkan salah satu Formula produk Rohedi Laboratory solusi dari PD orde 1 berikut:

      dx/dt = A*x^3 + B*x^2 + C*x, t=0, x(0)=x0,

      Ya barangkali berguna sebagai PD transformasi ketika memecahkan PDB orde yang lebih tinggi.

      Nah pada leave comment artikel di link yang berikut

      http://autarkaw.wordpress.com/2008/10/30/comparing-two-series-to-calculate-pi/

      Rohedi share-kan proses submit Rohedi’s version of the Newest Pi Exact Formula kepada Professor DR. Autar Kaw Staff Pengajar pada Jurusan Mechanical Engineering Univ of South Florida, yang memegang Peringkat Dosen Terbaik ke-7 se Benua Amerika. Ini dulu tambahan dari saya. Salam….

  11. Waduh @subagus ini, saya jadi tidak enak karena anda anggap termasuk yang turut menggembar-gemborkan karya pak Rohedi, yang setelah saya baca paper-papernya metode SMT yang beliau klaim hebat itu memang berbasiskan PDB orde 1 terutama PD Bernoulli dan P D Arctan sebagaimana telah dijelaskan pak Hari Saryono di reply sebelumnya. Jujur saya tidak paham dengan topik differential equation ini, tapi sekecil apapun kontribusi ilmiah apa tidak diapresiasi begitu saja. Selain itu apa benar semua PDB orde 1 itu tidak ada gunanya? Salam kenal @subagus, sepertinya anda paham betul permasalahan ini. Kalau meminjam istilah Pak Rohedi apa tidak sebaiknya anda turut klarifikasikan hal ini pada kita semua. Bukan begitu Pak Hari?

    1. @subagus, barangkali buat baca-baca, di link berikut ada beberapa contoh PD orde 1, mulai yang sederhana sampai yang rumit.

      http://metrostateatheists.wordpress.com/2008/12/16/differential-equations-how-they-relate-to-calculus/#comment-2335.

      Saya pernah baca kalau PD orde 1 yang berikut sulit untuk dipecahkan

      dy/dx+p(x)y=Q(x)y^n + f(x) , n≠1

      untuk p(x), Q(x), dan f(x) fungsi sembarang.

      Anda bisa pandu kami cara memecahkannya @subagus?

      Ohya, saya baca di link itu sdr.Rokib lontarkan pertanyaan serupa dengan yang ditanyakan di blog ini. Ya kita tunggu saja jawaban mereka kelompok atheist itu.

  12. Sudah saya tulis kalau sama sekali tidak berkompeten dibidang matematika. Saya cuman ingat sedikit tentang arctan. Kalo memang @subagus punya banyak waktu, mungkin soal sederhana yang cocok buat anda ya mengganti angka 1 yang di PD Arctan itu dengan t, sehingga menjadi dy/dt=y^2+t, untuk t=0, y(0)=y0, maaf Pak Rohedi saya tahu ini dari artikel Fenomenal Invention anda.

  13. Terima kasih saya haturkan dari lubuk hati sanubari yang terdalam buat Pak Hari Saryono atas petunjuk pemecahan damped oscillatory systems yang saya butuhkan selama ini. Terus terang petunjuk bapak memicu semangat saya mendalami persamaan diferensial. Mohon maaf kalau persoalan ini juga saya tanyakan ke narasumber metrostateatheist.com sesuai link yang ditunjuk p.rohedi.

    1. kunci belajar programming adalah dengan banyak berlatih. Saya tidak punya banyak waktu untuk menjawab soal-soal pemrograman, karena untuk menjawabnya saya juga harus memprogram

  14. salam wordpress…

    pak Harisaryanto apakah punya referensi buku asli dengan judul “elements of partial differential equations” karangan pavel drabek dan Gabriela holubova…
    untuk tutorial dan ping download bapak semua saya punya,,file tersebut kalau saya ga salah dari scrbd..

    andai bapak punya buku yang saya maksud, saya minta link download nya…
    salam dari tazziemania

Leave a Reply